考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。 

一、填空题（共40分，每空4分）

1、设，，则除的商式和余式分别是_______和_________。

2、行列式的值是________。

3、如果把实级对称矩阵按照合同分类，即两个实级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，则共有________类。

4、给出线性空间的两组基和：

则基到的过渡矩阵为       。若线性变换在基下的矩阵为，则在基下的矩阵为        。

5、已知3级方阵，则的初等因子为        ，的Jordan标准形为        。

6、正交矩阵的实特征值只可能是            。

7、对欧几里得空间中的向量，有，而且等号成立当且仅当            。

二、（15分）讨论取何值时，下列方程组无解、有唯一解、有无穷多解，并在有无穷多解时求出其全部解。

三、（15分）设

1、求的全部特征值；

2、对的每个特征值，求的属于特征值的特征子空间的维数和一组基；

3、求正交矩阵，使是对角矩阵，并给出此对角矩阵。

四、（15分）多项式，，在上不可约，且与有一个公共复根，证明| 。

五、（15分）设是数域上线性空间中的线性无关向量组，讨论的线性无关性。

六、（15分）1、设是一个级方阵，且，证明：秩()+秩=。其中是级单位矩阵。

2、 关于级方阵和级单位矩阵，若秩()+秩=，是否有？若否，举出反例；若是，给出证明。

七、（15分）用表示数域上所有级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为上的线性空间。数域上形如

的级矩阵称为循环矩阵，它的行向量的每个元素都是前一个行向量各元素依次右移一个位置得到的结果。用表示数域上所有级循环矩阵组成的集合。证明是的一个子空间，并求的一个基和维数。

八、（20分）你认为高等代数课程中最重要的概念、最重要的结论是什么，你最感兴趣的内容是什么？高等代数有哪些重要的应用？谈谈你对高等代数的体会和感想。

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