一、计算崽 （ 每小题 10 分，其90 分〉

1. 求极限 lim r=三

x→0 .Jl + x -1

 I sin x

2.  叙述函数 y = f ( x ） 连续的定义 ，并讨论函数 y = f ( x ） ＝x ’i O,

X 寻t υ

「 的连续性－

x = O

3.   设 f  ( x ） 是 2万 为周期的函数 ，在［一汀，对 上的表达式为

7r

4 ’ -Jr  三二 x < 0,

x = O,

＜ X < Jr

4 ’求该函数的傅里叶展开式 ，并由此求级数时 （一俨 土

2n - 1

 4   利用弧长公式 s = f \/1+ f ’2(x) dx 计算悬链线 y＝旦旦二 从 x = 0 JLl x = 10 那一段

J a 2

的弧长．

5 计算定积分 (1)  tι7缸 ，并说明该积分的几何意义 ；（川算定积分 俨 In功

6. 求幕级数 二 的收敛区间及和函数

 I xy

7 叙述二元函数偏导数的定义 ，并计算 f  ( x , y ） 斗 F可1 0

x2 + y2 宇生 0,

x2 十 γ2 = 0

在原点处的二个偏导数 ，进而说明在原点处的可微性 ．

8 计算 I  = fff ( x2 + y2')d均dz ，其中 V 是由曲面 2 (x2 + y2 ) = z  与 z = 4 所围成的区域

r ,+,  xdy -ydx

9 . 利用格林公式计算 1 = u.i. 2 2 ，其中  L为任一不包含原点的逆时针光滑无自交闭

曲线．再问若L包含原点呢？ 工、证明题 （每小题 15 分，共 60 分〉

1.  证明不等式 ex > I + x ,  x * 0.

2. 证明收敛数列的有界性 ．

3.  证明函数列儿 （ X ) = Xn 在（0,1） 上非一致收敛

4 .    (1） 设非负函 数／（均 在 ［a,b］ 上有 无穷个 点的函数值 大 于零且 可积 7        证明或 否定

S:1c机＞ 0 ;

（勾设函数 f  (x）在 ［价］ 上可积 ，并且 s:f  （树＞ 0 ，证明或否定存在区 ｜司［时］ c［响 ，

 使 f  ( x) > O, x ε ［α，β］ ．

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