考试科目： 846 高等代数 总分： (150 分〉 考试时间 ：3 小时

一、计算题 〈共 75 分〉

2.   (15 分〉 用正交变换将下述实二次型化为标准形 ，并且写出所作的正交变换：

f ( xi,x2 ,x3 ) = 2x + Sxi + S x} + 4x1x2 一 4x1x3 - 8x2 x3

x ! +x 2 +x 3 +x 4 + x5 = a

, 3x , + 2X o 十 X 、＋x    -- 3x. = 0

3.  C 15 分） 己知方程组 2 3

X 2 十 2x 3 + 2x 4 + 6x5 = b

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x5 = 2

Cl） α，b 为何值时方程组有解 ；

( 2 ） 在方程组有解时，求出方程组的一般解（用基础解系 表出） 

4.  (15 分〉 设矩阵 A = I

f 有一个特征值 人 ，属于λ。的一个特征向量为 α （一1，一 1,1｛ ，求 α，b ,c 和 λ。的值

5.   (15 分） 在 R 4 中，设 αl = (1,1儿 l ，α2 二 (1儿1,1／，ρ1 = (0,0,1,1／，β2 = (0,1,1,0)7'

1） 求 L（叫，αJ n L（鸟，/32 ） 的维数与一组基．

2） 求 L（叫，αz ) + L（β1' /J2 ） 的维数与一组基．

二、证明题 （共 75 分）

l . ( 15 分〉 证明 ：1 +x ＋王 ＋ ＋王 不能有重根．

2 ！ η！

答案写在答题纸上 ，写在试卷上无效第 1 页 （ 共 2 页〉

2.   ( 20 分〉 设 kl  αI + k2α2 + k3吗＝0 且 k1 k3  -:/:- 0 ，求证：L（αl，α2 ) = L（町，α3) .

3.    ( 20 分〉 己知 A , B 都是正定阵，证明：AB 也是正定阵的充分必要条件是 AB  = BA .

4  川设 R2x 2 上 1¥J T 叫阳） 版 XM 其中 M G

任意矩阵．

(1） 验证 T 是 R,:x 2 上的线性变换阵．

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