考试科目名称：数学分析

一、考试要求 1）要求考生熟练掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法。 2）要求考生具有严格的数学论证能力、举反例能力和基本计算能力。 3）要求考生了解数学分析中的基本概念、理论、方法的实际来源和历史背景， 清楚它们的几何意义和物理意义，初步具备应用数学分析解决实际问题能力。

二、考试内容 1) 极限和连续性 a．数列极限与函数极限的概念，包括数列的上、下极限和函数的左、右极限。 b．极限的性质及四则运算性质，两面夹原理。 c．区间套定理，确界存在定理，单调有界原理，Bolzano-Weierstrass 定理， Heine-Borel 有限覆盖定理，Cauchy 收敛准则。 d．函数连续性的概念及相关的不连续点类型。函数连续的四则运算与复合运算 性质,以及无穷小量比较。 e．闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理和一致连续性 定理。 2) 一元函数微分学 a．导数和微分的概念及其相互关系，导数的几何意义和物理意义，函数可导性 与连续性之间的关系。 b．函数导数与微分的运算法则，包括高阶导数的运算法则，分段函数的导数。 c．Rolle 中值定理，Lagrange 中值定理和 Cauchy 中值定理以及 Taylor 公式。 d．函数的导数与单调性，极值，最值和凸凹性。 e．L’Hopital（洛必达）法则，不定式极限。 3) 一元函数积分学 a．不定积分的概念，不定积分的基本公式，换元积分法和分部积分法，有理函 数、三角函数和简单无理函数的积分。 b．定积分的概念，包括 Darboux 和，上、下积分及可积条件与可积函数类。 c．定积分的性质，微积分基本定理，定积分的换元积分法和分部积分法。 d．用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积，平面曲线的弧 长，旋转体的体积与侧面积，平行截面面积已知的立体体积，变力做功和物体的 质量与质心）。 e．广义积分的概念，广义积分收敛的比较判别法，Abel 判别法和 Dirichlet 判 别法，其中包括积分第二中值定理。 4) 无穷级数 a．数项级数敛散性的概念，数项级数的基本性质。 b．正项级数敛散的必要条件，比较判别法，Cauchy 判别法，D’Alembert 判别 法与积分判别法。 c．任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念及其相互关系，交错级数的 Leibnitz 判别法，绝对收敛级数的性质。 d．函数项级数一致收敛性的概念以及判断一致收敛性的 Weierstrass 判别法， Abel 判别法和 Dirichlet 判别法，一致收敛级数的性质。 e．幂级数及其收敛半径的概念，包括 Cauchy-Hadamard 定理和 Abel 第一定理。 f．幂级数的性质，将函数展开为幂级数，Weierstrass 逼近定理。 g．Fourier 级数的概念与性质以及收敛性的判别法。 5) 多元函数微分学与积分学 a．多元函数极限与连续性，偏导数和全微分的概念，多元函数的偏导数与全微 分。 b．隐函数存在定理，反函数定理。 c．多元函数极值和条件极值，Lagrange 乘子法，偏导数的几何应用。 d．重积分，第一型、第二型曲线积分和曲面积分的概念与计算。 e．梯度，散度，旋度及其物理、几何意义。 f．Gauss 公式、Green 公式和 Stokes 公式及其应用。 6) 含参变量积分 a．含参变量常义积分的概念与性质。 b．含参变量广义积分的一致收敛性的概念及其判别法，一致收敛的含参变量广 义积分的性质。

三、考试时间：180 分钟，满分：150 分 四、参考书目： 《数学分析教程》（上、下册），常庚哲、史济怀编，中国科学技术大学出版社， 2013 年，第三版。

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